소비자 평형 공식 | 미시 경제학

이 기사에서는 적절한 예를 통해 소비자 평형 공식에 대해 설명합니다.

소비자의 유틸리티 기능이 다음과 같다고 가정하십시오.

U = f (q 1, q 2 ) [eq. (6.1)]

여기서 U는 서수 유틸리티 번호이고 q 1 과 q 2 는 소비자가 구매하는 두 상품 Q 1 과 Q 2의 수량입니다. 여기서, u wrt q 1 및 q 2의 1 차 및 2 차 부분 도함수가 존재한다고 가정한다.

또한 소비자의 예산 제약은 다음과 같다고 가정하십시오.

요 = p 1 q 1 + p 2 q 2 (6.23)

여기서 yo는 소비자가 상품 Q 1 및 Q 2 에 소비하는 고정 수입 금액이며, p 1 및 p 2 는 두 상품의 지정된 가격입니다. 여기에서 그의 예산 제약에 따른 소비자의 유틸리티 최대화 평형을위한 조건을 도출하고자한다.

이를 위해 다음과 같은 라그랑주 기능을 구성 할 수 있습니다.

V = f (q 1, q 2 ) + λ (yo – p1q1 – p 2 q 2 ) (6.24)

여기서 λ는 결정되지 않은 라그랑주 승수입니다.

유틸리티 최대화를위한 1 차 주문 조건 :

(6.24)에서 V는 q 1, q 2 및 λ의 함수이며 V wrt q 1, q 2 및 λ의 1 차 편미분이 동일하면 구속 된 유틸리티 최대화의 1 차 조건 (FOC)이 구해집니다. 0으로

따라서 이러한 FOC는 다음과 같습니다.

식 (6.29)-(6.32)는 제한된 유틸리티 최대화를위한 다양한 형태의 FOC를 제공합니다. (6.29)-(6.31)의 왼쪽 (LHS)은 무차별 곡선 (IC)의 수치 기울기를 나타내고 오른쪽 (RHS)은 두 상품의 가격 비율을 나타냅니다. 예산 선의 숫자 기울기.

따라서, (6.29)-(6.32)에 의해 주어진 FOC는 모두 예산 선과 소비자 IC 사이의 탄젠트 지점에서 유틸리티 최대화에 필요한 1 차 또는 필요한 조건을 제공한다.

식 (6.32)에서 주어진 유틸리티 최대화를위한 FOC는 소비자가 두 재화에 돈을 쓰면 유틸리티의 변화율 또는 각 재화에 소비되는 돈의 소비율이되는 방식으로 유틸리티가 최대화 될 것이라고 명시하고있다 똑같다.

만약 한 재화에 소비 된 돈의 만족도 변화율이 다른 재화에 비해 더 많은 방식으로 두 재화 사이에 돈 소비를 나누면, 소비자는 유틸리티 수준을 극대화 할 수 없을 것이다 그의 모든 돈을 두 재화에 소비함으로써

이제 그는 선한 선에서 만족의 변화율이 줄어들고 후자의 선에서 증가하여 두 선이 동일해질 때까지 후자에 더 많이 지출하고 후자에 더 적게 소비해야 할 것입니다.

마지막으로, 1 차 평형 조건 (6.25) 및 (6.26)으로부터 다음과 같이 얻어진다 :

각 재화에 소비 된 MU가 동일하게되면 소득 MU에 해당합니다. 따라서 (6.33)은 라그랑주 승수 A를 제공하며 소득의 한계 효용으로 해석 될 수있다.

상품의 MU가 긍정적이라고 가정하기 때문에 (상품이 MIB라고 가정하기 때문에) 소득의 MU도 긍정적입니다. 또한 FOC의 식 (6.27)은 예산 제약 조건이 충족되었음을 보장합니다.

두 번째 주문 조건 :

이제 2 차 조건 (SOC) 또는 충분한 유틸리티 최대화 조건이됩니다.

SOC는 FOC가 충족 된 탄젠트 지점에서 경계가있는 헤 시안 결정자 D가 0보다 커야한다고 명시합니다.

따라서, SOC는 IC의 기울기의 미분이 양수, 즉 IC가 탄젠트 지점에서 원점으로 볼록한 것을 의미한다. IC상의 어떤 지점이 예산 선의 기울기에 따라 탄젠트 지점 일 수 있기 때문에, SOC는 실제로 IC가 전체 길이에 걸쳐 원점으로 볼록해야 함을 암시합니다.

여기서, 소비자 평형에 대한 2 차 또는 충분한 조건 (6.35)이 규칙적으로 엄격하게 준 오목한 오목 영역의 도메인 내의 각 지점에서 충족되기 때문에, 소비자의 유틸리티 기능 (6.1)은 다음과 같아야한다. 규칙적으로 엄격하게 오목한 기능. 그래야만 2 차 조건이 충족됩니다.

:

유틸리티 함수가 U = q, q 2 및 p, = 2 (Rs) 및 p 2 = 5 (Rs)이고 기간 동안 소비자의 수입이 y = 100 (Rs)이라고 가정하십시오. 예산에 따라 소비자의 만족도를 극대화 할 수있는 상품 조합을 찾으십시오. 또한 균형점에서 소득의 한계 효용을 구하고

해결책:

유틸리티 기능은 다음과 같이 주어졌습니다

U = q 1 q 2 (i)

따라서, FOCs로부터 상품의 실효 최대 수량은 q 1 = 25 개 단위이고 q 2 = 10 개 단위입니다.

이제 이러한 수량이 유틸리티 최대화를위한 2 차 조건 (SOC)을 충족하는지 확인하십시오. 이 조건은

따라서, (viii)에 의해 주어진 SOC가 검증된다. 마지막으로, 평형 수량은 q 1 = 25 단위 및 q 2 = 10 단위이며, 소득의 MU는 이미 서수 유틸리티 번호 인 λ = 5가됩니다.

예제는 그림 6.11의 도움으로 그래픽으로 표시 할 수 있습니다. 주어진 예에서 IC는 유틸리티 함수 (i)에서 알 수 있듯이 직사각형 쌍곡선이다. 이러한 IC 2 개 (즉, IC 1 및 IC 2 )가 그림 6.11에 나와 있습니다.

식 (ii)에 의해 주어진 예산 선은 선 LM이다. 예산 선의 q 1 절편은 50 단위이고 예산 선의 q 2 절편은 20 단위라는 것이 (ii)로부터 얻어진다.

즉, 소비자가 p 1 = 2에서 Q 1 에 모든 돈 (100)을 소비하면 Q 2 의 50 단위를 구입할 수 있고 p 2 = 5에서 Q 2 에 모든 돈을 소비하면 Q 2의 20 개 단위를 살 수있을 것입니다. 예산 선의 숫자 기울기 또는 가격 비율은 p 1 / p 2 = 2/5입니다.

소비자 평형에 대한 FOC는 경향 E의 시점에서 만족되었습니다.이 시점에서 MRS Q1, Q2 = (∂U / ∂q 1 ) / (∂U / ∂q 2 ) = q 2 / q 1 = 10 / 25 = 2/5는 가격 비율 p 1 / p 2 = 2/5와 같습니다. SOC와 관련하여, 지점 E = d / dq 1 (-q 2 / q 1 ) = + 2q 2 / q 1 = 양에서 IC wrt q 1 의 기울기의 미분은, 즉 IC는 볼록하다. 점 E의 원점과 SOC가 충족됩니다.

 

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