상트 페테르부르크 역설과 Bernoulu의 가설 (도표 포함)

다니엘 베르누이 (Daniel Bernoulli)는 상트 페테르부르크 역설 (St. Petersburg paradox)으로 알려진 문제에 큰 관심을 갖고이를 해결하려고 노력했습니다. 상트 페테르부르크 역설은 대부분의 사람들이 공정한 게임이나 내기에 참여하지 않는 문제를 말합니다.

예를 들어, 사람이 R을이기거나 잃을 확률이 높은 도박에 참여한다는 제안. 1000은 공정한 게임입니다.

수학적으로, 기대 값이 0 인 도박, 또는 더 일반적으로, 게임 권에 대한 수수료가 기대 값과 동일한 게임은 공정한 것입니다. 따라서 불확실한 게임에서 상트 페테르부르크에 따르면 대부분의 개인은 공정한 베팅을하지 않거나 달리 말하면 공정한 게임을하지 않을 것입니다.

다니엘 베르누이 (Daniel Bernoulli)는 이성적인 개인의 행동에 대해 설득력있게 설명했다. 그에 따르면, 합리적 개인은 예상 금전적 가치보다는 기대되는 효용에 근거하여 위험하고 불확실한 상황에서 결정을 내릴 것이라고합니다.

그는 개인이 돈을 더 많이 이용할수록 돈의 효용이 줄어든다고 덧붙였다. 그가 게임에서 이기면 개인이 여분의 돈에서 기대되는 유틸리티를 기반으로 행동하고 여분의 돈을 가지면 그에게 돈의 한계 유틸리티가 줄어 들기 때문에 대부분의 개인은 '게임을하지'않을 것입니다. 내기. 이런 방식으로 Bernoulli는 'St. 피터 즈 버그 역설.

그래픽 일러스트는 역설에 대한 Bernoulli의 솔루션을 명확하게 보여줄 것입니다. X- 축에서 개인의 돈의 양 (수천 루피)과 Y- 축에서 한계 돈 (루피)을 측정하는 그림 17.1을 고려하십시오. 개인이 그와 함께 2 만 루피를 가지고 있고 루피 1 천을이기거나 잃는 이상한 (즉, 50-50 확률) 베팅을 할 수 있다고 가정하십시오.

그가 베팅에서 이기면 그와 함께 돈은 22, 000 루피로 올라갑니다. 그와 함께 돈이 증가한 결과, 예상되는 돈의 효용이 줄어들면, 직사각형 CDFE로 묘사 된 1000 루피의 여분의 효용 효용이 이전의 여분의 효용보다 적습니다 사각형 ABDC에 의해 측정되는 천 (즉, 만) 루피.

다시 말해, 베팅에서 이겼을 때의 효익은 베팅에서 졌을 때의 효용 손실보다 적습니다. 그러나 손익은 금전적 금액 측면에서 동일합니다. ). 따라서, 한계 수용 효익의 감소를 고려할 때, 기대 효용의 이익은 베팅에 관련된 1, 000 루피로부터의 기대 효익 손실보다 적기 때문에 합리적인 개인은 50-50 배당률로 베팅을하지 않을 것입니다.

또한 합리적 개인이 돈의 한계 효용이 매우 급격히 떨어지면 유리한 승률에서도 베팅하거나 도박을하지 않을 것임을 주목할 수 있습니다. 예를 들어, 사람에게 베팅이 제공되는 경우; 그가 베팅에서 이기면 Rs가 주어집니다. 1500을 잃으면 Rs를 지불해야합니다. 1000, 그런 다음 돈의 한계 유틸리티의 급격한 감소의 경우와 같이, 그는 내기를하는 것에 동의하지 않을 수 있습니다. 개인이 R을 갖는 그림 17.2를 고려하십시오. 현재 20, 000입니다.

그가 베팅에서 이기면 그의 금전적 이득은 Rs입니다. 1500은 그의 돈을 Rs로 올릴 것입니다. 21, 500의 총 유틸리티 효용은 검은 음영으로 표시되며 내기를 잃으면 Rs의 수입이 감소합니다. 1000에서 Rs. 19, 000에 이르러 그는 붉은 그늘 지역과 동일한 전체 유틸리티 손실을 겪습니다.

그림 17.2에서 돈 조건의 작은 손실에도 불구하고, 내기에서 이길 경우 돈의 큰 증가에도 불구하고 총 유틸리티의 손실은 총 유틸리티의 이익보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 개인의 돈이 증가함에 따라 돈의 한계 효용이 급격히 감소했기 때문입니다.

개인의 베팅에 대한 위의 논의에서 개인은 도박에서 즐거움을 얻지 못한다고 가정합니다. 즉, 그는 도박을 즐기지 않는다고 가정합니다. 이것은 개인이 도박을 통해 돈을 이기고 잃는 것으로 유틸리티의 예상되는 손익을 기준으로 행동 할 것이라는 의미에서 합리적으로 행동한다고 ​​말하는 또 다른 방법입니다.

도박에 참여하는 개인의 결정에 대한 Bernoulli의 가설은 게임의 예상 돈 가치보다는 그의 기대 된 유용성에 달려 있지만 위험하고 불확실한 상황에서 개인의 행동에 대한 논의에서 결정적인 의미가 있습니다. 유틸리티 기능에 상한이없는 한, 패러독스가 재생되도록 도박 상금을 적절히 조정할 수 있습니다. 개인이 이익 자체의 금전적 가치보다는 여분의 돈으로 기대되는 효용을 고려한다는 Bernoulli의 주요 요점은 경제학자들 사이에서 널리 수용되고 있음을 발견했습니다.

그러나 베르누이의 예상 유틸리티 가설의 주요 단점은 오늘날 경제학자들이 믿기 어려운 카디날로 측정 할 수있는 유틸리티를 가정한다는 점이다. J. Von Neumann과 O. Morgenstern은 도박이나 보험의 경우와 같이 위험하거나 불확실한 상황에서 행동하는 개인이 여분의 돈으로 얻은 유틸리티에 숫자 값을 할당하는 완전히 새로운 접근 방식을 채택했으며 유틸리티 구성 방법을 기반으로합니다. 베르누이의 예상 유틸리티 가설에 대한 지수 (신고 전적 경제학자들의 유틸리티의 기본 측정과는 다른 방식으로 부러워 함). 그들은 N – M 유틸리티 지수를 기준으로 위험하고 불확실한 상황에있는 개인의 선택을 분석 할 수 있음을 보여주었습니다.

위험한 상황에서 Neumann-Morgenstern Utility Concept Index :

베팅, 도박 및 복권 구매 등과 같은 위험하고 불확실한 전망 하에서 베르누이의 아이디어를 이용하여 합리적인 개인은 현재 유명한 작품에서 예상되는 돈 가치, Neumann 및 Morgenstern 대신 예상 유틸리티를 이용할 것입니다. Economic Behavior는 상금에서 기대되는 유틸리티를 수치로 측정하는 방법을 제공했습니다. NM 지수라고 불리는 이러한 유틸리티 지수를 기반으로 위험한 상황의 경우 개인이 합리적인 결정을 내립니다.

따라서 Neumann- Morgenstern 방법은 유틸리티 번호를 지정하거나 다른 말로하면, 돈의 재고가 증가함에 따라 사람이 얻는 총 유틸리티의 NM 유틸리티 인덱스를 구성하는 것을 추구합니다. 위험하고 불확실한 상황에서 개인이 선택하는 것은 NM 유틸리티 지수 (예상 수치 유틸리티)와 돈 소득의 변화에 ​​따라 달라집니다.

 

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