간접 유틸리티 기능의 속성 | 소득 | 소비자 | 경제학

x의 유틸리티는 u (x)로 쓸 수 있습니다. Rn + 에서는 지속적이고 엄격하게 증가하고 있습니다. 간접 유틸리티 기능에는 6 가지 속성이 있습니다.

이러한 특성은 다음과 같은 증거와 함께 설명됩니다.

속성 1 :

Rn에서 연속 ++ * R + :

증명:

x, u (x)의 유틸리티는 연속 함수입니다. 소득과 가격에 변화가있을 수 있습니다. 가격의 변화는 항상 소득의 변화와 함께 관찰됩니다. 그러나 가격의 첫 변화도 가능합니다. 그것은 ΔP = ΔY, 이제 ΔY = ΔM을 의미합니다. 따라서 소비자는 소득과 가격이 변하기 전에 얻은 것과 동일한 유틸리티를 달성합니다. 보상 변동이라고도합니다. 소득의 변화는 소비자의 예산 제약의 변화와 같습니다. 유틸리티 수준은 영향을받지 않으며 일정 기간 동안 계속 유지됩니다. 다음 속성에서 자세히 설명합니다.

재산 2 :

(p, y)에서 균질도 0 :

증명:

간접 유틸리티 함수의 속성 1과 2에 대한 증명은 간단한 형식으로 제공됩니다.

v (tp, ty) = [px ≤ y에 영향을받는 max u (x)와 명백하게 동일한 tpx ≤ ty에 영향을받는 max u (x))를 가정합니다. 제약 조건의 양쪽을 t로 나눌 수 있기 때문에 t> o이며이를 만족하는 번들 세트에 영향을 미치지 않습니다. 결과적으로, v (tp, ty) = [px ≤ y] = U (p, y)에 따른 최대 max (x). 위의 속성에 대한 간단한 증거입니다. 이는 x의 유용성이 가격과 수입에 종속됨을 의미합니다.

속성 3 :

y에서 엄청나게 증가하고 있습니다.

그러한 재산은 증명하기 쉽다. 따라서 여기에서는 설명하지 않지만 다음 속성에서 증명을 설명 할 수 있습니다.

재산 4 :

p에서 간접 유틸리티 기능이 감소하고 있습니다 .

증명:

속성 3 및 4는 다음과 같이 동시에 설명됩니다. 모든 소비자는 항상 자신의 유틸리티를 늘리는 것을 좋아합니다. 소비자의 예산 제약으로 인해 달성 가능한 최대 유틸리티 수준이 줄어들지 않습니다. 주어진 수준의 소득과 가격으로 소비자는 항상 무차별 곡선에서 가장 높은 유용성을 달성합니다. 우리는이 유틸리티가 엄격하게 양수이고 구별 할 수 있다고 가정합니다. 여기서 (p, y)»0이고 u (0)은 모든 x»0에 대해 (∂u / x)와 구별됩니다.

간접 유틸리티 기능의 동질성은 가격과 수입의 관점에서 정의 될 수 있습니다. 여기서 u (.)는이 유틸리티 기능에서 엄격히 증가하고 있습니다. 유틸리티 제약 조건이 최적의 수준을 유지해야합니다. 따라서 유틸리티 기능은

식 (24)에 Lagrangian을 추가하면

(p, y»0)의 경우 x * = x (p, y)라고 가정합니다. 이제 우리는 방정식 (24)에 대해 풀어야합니다. x *»0 가정을 추가해야합니다. 이제 Lagrange의 정리를 다시 적용하여 λ * ԑR이 있다고 결론을 내릴 수 있습니다.

상기 식에서 p i 및 δu (x *) / δx i 는 양의 값이다. 우리는 이제 봉투 정리를 적용하여 v (p, y)가 y에서 엄격하게 증가하고 있음을 확인합니다. y에 대한 최소값 함수 v (p, y)의 부분 도함수는 Langarangian의 부분 도함수와 같습니다. (x *, λ *)에서 평가 된 y와 관련하여,

따라서 v (p, y)는 소득에 따라 엄격하게 증가합니다. v가 연속적이고 증가하기 때문입니다.

기본 방정식 증명은 추가 가설에 의존하지 않습니다. p = ≥ p1 인 경우 p = p0 일 때 방정식을 풀 수 있습니다. 그런 다음 x0 ≥ 0, (p0⎯ p1), x0 ≥ 0이므로 p1.x0 ≤ p0 .x0 ≤ y입니다. p = p1 일 때 x0을 실행할 수 있습니다. 위의 속성의 결론은 v (p1, y) ≥ u (x0) = v (p0 y)입니다. 이전 속성에서 바람직한 결론입니다.

속성 5 :

(p, y)의 준 볼록 :

이 속성을 증명하기 위해 소비자는 두 가지 극단적 인 예산 세트 중 하나를 선호한다고 가정해야합니다. 요점은 가격과 소득 벡터 (p, y)에서 v (p, y)가 준 볼록한 것을 보여줍니다. 이 증거는 예산 세트에 집중하는 것입니다.

소비자가 사용할 수있는 예산 세트 인 β1을 가정하고 가격과 수입이 각각 (p1y1) (p2y2) 및 (ptyt) 인 경우 예산 세트를 사용할 수 있다고 가정하십시오. 가용 가격과 수입은 pta”tp1 + (1-t) p2 및 yt = y + (1-t) y2로 표시됩니다. 여기서 우리는 세 가지 확률을 취했습니다.

소비자는 예산 제약 조건 βt에 직면 할 때 선택합니다. β1 또는 예산 세트 β2에 직면 할 때 선택합니다. 각 유틸리티 수준에서 유틸리티는 예산 설정을 달성 할 수 있습니다. β1 또는 β2 예산 세트에 직면했을 때 달성해야 할 유틸리티 수준을 이해하는 것은 간단하지만 간단합니다. 유틸리티의 최대 수준은 βt 예산 세트 이상으로 달성되며 더 이상 다음과 같을 수 없습니다.

β1 또는 β2 예산 세트에서 달성 할 수있는 최대 유틸리티 수준. 간단하게하기 위해, βt에서 최대 수준의 유틸리티를 달성했습니다. 이 두 예산 세트 중 더 이상 클 수 없습니다. 명령문이 정확하다고 가정하면 u (pt, yt) ≤ max [max [v [p1, y1), v (p2, y2)] ∀t ϵ [0, 1]입니다. (p, y)에서 준 볼록한 u (p, y)와 동일하다. 우리는 x tβt이면 모든 tϵ [0, 1]에 대해 xϵβ1 또는 xϵβ2이면 쉽게 표현할 수 있음을 보여주고 싶다. 이해하다. t에 대해 극단 값을 선택한 다음 βt 예산 세트를 β1 또는 β2 예산 세트와 함께 사용한다고 가정합니다. 관계는 거의 영향을 미치지 않습니다. 그들이 모든 tϵ (0, 1)을 유지한다는 것을 보여 주어야합니다.

일부 Eϵ βt는 다음과 같습니다.

tϵ (0, 1) 때문입니다. 먼저, 우리는 t를 곱하고 두 번째 방정식은 (1-t)를 곱합니다.

우리는 불평등을 보존하여 다음 방정식을 얻습니다.

위의 두 방정식을 더하면

또는

위의 줄은 x가 ât와 같지 않다고 말합니다. 우리의 원래 가정과 모순됩니다. xϵβ1 인 경우 모든 t for (0, 1)에 대해 xϵβ1 또는 xϵβ2라고 결론 지을 수있다. 이전 점들로부터, v (p, y)가 (p, y)에서 준 볼록한 것이 바람직 할 수있다.

속성 6 :

로이의 정체성 :

그것은 소비자에 대한 마샬의 재화 수요는 단순히 간접 유틸리티의 일부 파생 상품의 비율이라고 설명합니다. 부호 변경 후 pi와 y에 관한 것입니다. 우리는 x * = x (p, y)가 완전히 긍정적 인 해결책이라고 가정했습니다. 엔벨로프 정리를 적용하여 ∂U (p, y) / ∂pi를 평가하면 다음 방정식이 나타납니다.

상기 식 λ * = ∂u (p, y) / ∂y> 0에 따르면, 식 (29)는 다음과 같이 해석 될 수있다.

위의 속성에 대한 원하는 기능과 증명입니다.

 

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